Jump to content
GHOST_FATHER

[მათემატიკა] კითხვები / დახმარებები

Recommended Posts

აბა დავეხმაროთ მათემატიკაში ერთმანეთს :)
მალე მათემატიკურ ფორმულებს დავამატებ :) :clapping:

  • Upvote 1

Share this post


Link to post
Share on other sites

კომპლექსურ რიცხვებზე ცოტა რამ მაინც თუ შეუძლია ვინმეს დაწეროს?

Share this post


Link to post
Share on other sites

კომპლექსური რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა.

უკვე XVI საუკუნეში მათემატიკურ შრომებში გვხვდება უარყოფითი რიცხვებიდან კვადრატული ფესვები იმ ფორმულებში, რომლებიც კვადრატული განტოლებების ამონახსნებს იძლევიან. მაგრამ იმ დროში მათემატიკოსებს გაუძნელდებოდათ აეხსნათ ამ გამოსახულებათა ზუსტი აზრი. რომლებსაც ისინი ექცეოდნენ თითქოს ცრურწმენითი შიშით. თვით ტერმინი “წარმოსახვითი” დღევანდლამდე მოგვაგონებს იმას, რომ ეს სიმბოლოები განიხილებოდნენ როგორც რაღაც ხელოვნურნი, ყოველგვარ რეალურ მნიშვნელობას მოკლებულნი, და მხოლოდ XIX საუკუნის დასაწყისში, როდესაც უკვე გაირკვა კომპლექსური რიცხვების როლი მათემატიკის სხვადასხვა დარგში, მოცემულ იქნა კომპლექსური რიცხვების და მათზე ოპერაციების ძალზე მარტივი გეომეტრიული წარმოდგენა. ამით ბოლო მოეღო მათი გამოყენების კანონიერებაში შეტანილ ეჭვებს. ცხადია, თანამედროვე თვალსაზრისით კომპლექსურ რიცხვებზე ფორმალური ოპერაციები სავსებით გამართლებულია მათი ფორმალური განსაზღვრებების საფუძველზე, ასე რომ არავითარი გეომეტრიული წარმოდგენა ლოგიკურად აუცილებელი არ არის. მაგრამ ასეთმა წარმოდგენამ, რომელიც გაკეთებული იყო თითქმის ერთდროულად ვესელის (1745-1818), არგანისა (1768-1822) და გაუსის მიერ, საშუალება მოგვცა კომპლექსური რიცხვები და მათზე მოქმედებები განგვეხილა როგორც ინტუიციური თვალსაზრისით სავსებით ბუნებრივნი, და, გარდა ამისა, ამ “წარმოდგენებს” განსაკუთრებით დიდი მნიშვნელობა აქვს კომპლექსური რიცხვების მათემატიკაში, და ასევე მათემატიკურ ფიზიკაში გამოყენებისათვის.

კომპლექსური რიცხვების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია იმაში მდგომარეობს, რომ z=x+iyკომპლექსურ რიცხვს ეთანადება სიბრტყეზე x,y კოორდინატების მქონე წერტილი. სახელდობრ, რიცხვის ნამდვილი ნაწილი გაიგება, როგორც x კოორდინატი, ხოლო წარმოსახვითი, როგორც y კოორდინატი. ამრიგად მყარდება ურთიერთცალსახა თანადობა კომპლექსურ რიცხვებსა და “რიცხვითი სიბრტყის” წერტილებს შორის, მსგავსად იმისა, როგორც ჩვენ მიერ ადრე დადგენილი იყო თანადობა ნამდვილ რიცხვებსა და “რიცხვითი ღერძის” წერტილებს შორის. რიცხვითი სიბრტყის x-ღერძის წერტილებს შეესაბამებიან z=x+0iნამდვილი რიცხვები, მაშინ როცა y-ღერძის წერტილებს — z=0+iy წარმოსახვითი რიცხვები.

fig022.png

ნახ. 3.15. კომპლექსური რიცხვების გეომეტრიული წარმოდგენა. z წერტილს აქვს x,yმართკუთხა კოორდინატები.

თუ

z=x+yi

რაიმე კომპლექსური რიცხვია, მაშინ

z¯=x−yi

რიცხვს ჩვენ ვუწოდებთ z რიცხვის შეუღლებულს. რიცხვით სიბრტყეზე z¯ წერტილი zწერტილიდან მიიღება x-ღერძი მიმართ სარკეული არეკვლის საშუალებით. თუ ჩვენ შევთანხმდებით სათავიდან z

წერტილამდე მანძილი აღვნიშნოთ ρ სიდიდით, მაშინ პითაგორას თეორემის საფუძველზე

ρ2=x2+y2=(x+yi)(x−yi)=zz¯.

ნამდვილი რიცხვი ρ=x2+y2−−−−−−√ იწოდება მოდულად და აღინიშნება:

ρ=|z|;

თუ z ნამდვილ ღერძზე მდებარეობს, მაშინ მოდული ემთხვევა აბსოლუტურ სიდიდეს. ყველა კომპლექსური რიცხვი, რომლებსაც 1-ის ტოლი მოდული აქვთ, გამოისახებიან წერტილებით, რომლებიც მდებარეობენ „ერთეულ წრეწირზე" ცენტრით კოორდინატთა სათავეში და 1-ის ტოლი რადიუსით.

როცა |z|, მაშინ z, ეს გამომდინარეობს |z| სიდიდის განსაზღვრიდან, როგორც z წერტილის სათავიდან დაშორება. შემდეგ, ორი კომპლექსური რიცხვის ნამრავლის მოდული უდრის მოდულთა ნამრავლს

(3.34)

|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|

ეს გამომდინარეობს როგორც უფრო ზოგადი თეორემის შედეგი, რომელიც დამტკიცებული იქნება.

სავარჯიშოები.

  • დაამტკიცეთ უკანასკნელი თეორემა, ორი კომპლექსური z1=x1+y1i და z2=x2+y2i რიცხვის უშუალოდ ნამრავლის განსაზღვრიდან გამომდინარე.
  • ისარგებლეთ იმ გარემოებით, რომ ორი ნამდვილი რიცხვის ნამრავლი მაშინ და მხოლოდ მაშინ უდრის ნულს, როცა ერთერთი თანამამრავლი უდრის ნულს და დაამტკიცეთ შესაბამისი თეორემა კომპლექსური რიცხვებისათვის (მითითება: დამტკიცების დროს დაეყრდენით უკანასკნელ ორ თეორემას).
fig023.png

ნახ. 3.16. კომპლექსური რიცხვების შეკრება პარალელოგრამის წესის მიხედვით

ორი კომპლექსური რიცხვის z1=x1+y1i და z2=x2+y2i ჯამის განსაზღვრის თანახმად ჩვენ გვაქვს

z1+z2=(x1+x2)+(y1+y2)i.

ამრიგად, z1+z2 წერტილი რიცხვით სიბრტყეზე გამოსახავს იმ პარალელოგრამის მეოთხე წვეროს, რომლისთვისაც პირველი სამს წარმოადგენს 0,z1,z2 წერტილები. ორი კომპლექსური რიცხვის ჯამის ასეთ უმარტივეს აგებას მრავალ მნიშვნელოვან შედეგამდე მივყავართ. ამის მიხედვით ჩვენ ვასკვნით, რომ ორი კომპლექსური რიცხვის ჯამის მოდული არ აღემატება მოდულთა ჯამს.

|z1+z2|≤|z1|+|z2|.

საკმარისია მივუთითოთ იმაზე, რომ სამკუთხედის გვერდი არ აღემატება დანარჩენი ორი გვერდის ჯამს.

სავარჯიშო. რა შემთხვევაში აქვს ადგილი |z1+z2|=|z1|+|z2| ტოლობას?

კუთხეს x-ღერძის დადებით მიმართულებასა და Oz მონაკვეთს შორის ეწოდება z რიცხვის არგუმენტი და აღინიშნება φ ასოთი. . z და z¯ რიცხვებს აქვთ ერთი და იგივე მოდული

|z¯|=|z|.

მაგრამ მათი არგუმენტები ნიშნით საწინააღმდეგონი არიან:

φ¯=−φ

ცხადია, z რიცხვის არგუმენტი ცალსახად არ განისაღვრება, რადგანაც მას Oz მონაკვეთის მიმართულების შეუცვლელად შეიძლება მივუმატოთ, ანდა გამოვაკლოთ, ნებისმიერი, 360∘-ის ჯერადი კუთხე.

ამრიგად, კუთხეები

φ, φ+360∘, φ+720∘, φ+1080∘, … 

φ−360∘, φ−720∘, φ−1080∘, …

გრაფიკულად ერთსა და იმავე არგუმენტს გვაძლევენ. რადგანაც სინუსისა და კოსინუსის განსაზღვრის თანახმად

x=ρcosφ, y=ρsinφ,

ამიტომ ნებისმიერი z კომპლექსური რიცხვი მოდულისა და არგუმენტის საშუალებით გამოისახება შემდეგნაირად:

(3.35)

z=x+yi=ρ(cosφ+isinφ).

მაგალითად,

z=iz=1+iz=1−iz=−1+3√iშემთხვევაში ჩვენ გვაქვს"""ρ=1,ρ=2√,ρ=2√,ρ=2,φ=90∘,φ=45∘,φ=−45∘,φ=120∘.

ასე, რომ

i=1(cos90∘+isin90∘),

1+i=2√(cos45∘+isin45∘),

1−i=2√(cos−45∘+isin−45∘),

−1+3√i=2(cos120∘+isin120∘).

მკითხველი ამ ტოლობებს შეამოწმებს ტრიგონომერტიული ფუნქციების რიცხვით მნიშვნელობათა ჩასმის საშუალებით.

ვისარგებლოთტრიგონომეტრიული წარმოდგენით, რათა გავიგოთ ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლების გეომეტრიული აზრი.

თუ

z=ρ(cosφ+isinφ)

და

z′=ρ′(cosφ′+isinφ′),

მაშინ

zz′=ρρ′(cosφcosφ′−sinφsinφ′)+(cosφsinφ′++sinφcosφ′)i,

 

მაგრამ სინუსისა და კოსინუსის შეკრების ძირითადი თეორემების ძალით

cosφcosφ′−sinφsinφ′=cos(φ+φ′),

cosφsinφ′+sinφcosφ=sin(φ+φ′).

ამრიგად,

(3.36)

zz′=ρρ′{cos(φ+φ′)+isin(φ+φ′)}.

უკანასკნელი ტოლობის მარჯვენა ნაწილში ჩვენ ვხედავთ ტრიგონომეტრიული სახით ჩაწერილ კომპლექსურ რიცხვს ρρ′ მოდულით და φ+φ არგუმენტით. მაშასადამე, აქედან ჩვენ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ორი კომპლექსური რიცხვის გამრავლების დროს მათი მოდულები მრავლდებიან, ხოლო არგუმენტები იკრიბებიან . ამგვარად, ჩვენ ვხედავთ, რომ კომპლექსური რიცხვების გამრავლება როგორღაც დაკავშირებულია ბრუნვასთან.

ნახ. 3.17. კომპლექსური რიცხვების გამრავლება: არგუმენტები იკრიბებიან, მოდულები მრავლდებიან.

დავადგინოთ უფრო ზუსტად, თუ რაშია აქ საქმე. სათავიდან z წერტილში გამავალ მიმართულ მონაკვეთს ვუწოდოთ z წერტილის ვექტორი. მაშინ ρ=|z| მოდული არის მისი სიგრძე. ვთქვათ, z′ ერთეული წრეწირის რაღაც წერტილია, ასე რომ ρ′ ამ შემთხვეაში zრიცხვის z′-ზე გამრავლება z ვექტორს უბრალოდ აბრუნებს φ′ კუთხით. თუ ρ≠1, მაშინ გარდა მობრუნებისა, ვექტორის სიგრძე უნდა გამრავლდეს rho' სიდიდეზე. მკითხველს ვურჩევთ, დამოუკიდებლად მოახდინოს ამ ფაქტის ილუსტრირება სხვადასხვა კომპლექსური რიცხვის z1=i (90∘-იანი კუთხით შემობრუნება), Z2=−i (ისევ შემობრუნება 90∘-იანი კუთხით, მაგრამ საწინააღმდეგო მიმართულებით), z3=1+i და z4=1−i რიცხვებზე გამრავლებით.

) ფორმულა განსაკუთრებით საინტერესოა, როცა z=z′ მაშინ ვღებულობთ

z2=ρ2(cos2φ+isin2φ).

ხელახლა z-ზე გამრავლებით გვექვება

z3=ρ3(cos3φ+isin3φ);

და, საზოგადოდ, ოპერაციების გამეორებებით ნებისმიერი n-სათვის მივიღებთ, რომ

(3.37)

zn=ρn(cosnφ+isinnφ).

კერძოდ, თუ z წერტილი ერთეულ წრეწირზე მდებარეობს, ისე, რომ ρ=1, ჩვენ მივალთ ფორმულასთან, რომელიც ინგლისელმა მათემატიკოსმა ა. დე-მუავრმა (1667-1754) აღმოჩინა:

(3.38)

(cosφ+isinφ)n=(cosnφ+isinnφ).

ეს ფორმულა არის ელემენტალური მათემატიკის ერთერთი ყველაზე საინტერესო და შესანიშნავი თანაფარდობა. ავხსნათ ეს მაგალითზე. ავიღოთ n=3 და გავშალოთ მარცხენა მხარე ბინომის ფორმულის მიხედვით

(u+v)3=u3+3u2v+3uv2+v3.

მაშინ მივიღებთ

cos3φ+isin3φ=cos3φ−3cosφsin2φ+i(3cos2φsinφ−sin3φ).

ერთი ასეთი კომპლექსური ტოლობა ექვივალენტურია ნამდვილ რიცხვთა დამაკავშირებელი ორი ტოლობის. მართლაც, თუ ორი კომპლექსური რიცხვი ტოლია, მაშინ ცალ-ცალკე ტოლია მათი ნამდვილი და წარმოსახვითი ნაწილები. ამრიგად, შეიძლება დავწეროთ:

cos3φ=cos3φ−3cosφsin2φ,

sin3φ=3cos2φsinφ−sin3φ.

შემდეგ

cos2φ+sin2φ=1

თანაფარდობით თუ ვისარგებლებთ, საბოლოოდ მივიღებთ, რომ

cos3φ=cos3φ−3cosφ(1−cos2φ)=4cos3φ−3cosφ,

sin3φ=−4sin3φ+3sinφ.

მსგავსი ფორმულები, რომლებიც sinnφ და cosnφ-ს შესაბამისად sinφ და cosφ-ს საშუალებით გამოსახავენ, ადვილია მივიღოთ n რიცხვის ნებისმიერი მთელი მნიშვნელობებისათვის.

სავარჯიშოები.

  • დაწერეთ ანალოგიური ფორმულები sin4φ და cos4φ-სათვის.
  • დაუშვით, რომ z წერტილი მდებარეობს ერთეულ წრეწირზე: z=cosφ+isinφ და აჩვენეთ, რომ 1z=cosφ−isinφ.
  • გამოიანგარიშების გარეშე დაადგინეთ, რომ a+bia−bi რიცხვის მოდული უდრის ერთს.
  • დაამტკიცეთ, რომ თუ z1 და z2 ორი კომპლექსური რიცხვია, მაშინ z1−z2 სხვაობის არგუმენტი უდრის კუთხეს ნამდვილ ღერძის დადებით მიმართულებასა და იმ ვექტორს შორის, რომელიც z2-იდან მოდის z1 წერტილისაკენ.
  • მოცემულია სამკუთხედი z1,z2,z3 წვეროებით; დაადგინეთ z1−z2z1−z3 რიცხვის არგუმენტის გეომეტრიული აზრი.
  • დაამტკიცეთ, რომ ერთნაირ არგუმენტიანი ორი კომპლექსური რიცხვის ფარდობა არის ნამდვილი რიცხვი.
  • დაამტკიცეთ, რომ თუ z3−z1z3−z2 და z4−z1z4−z2 რიცხვების არგუმენტები ტოლია, მაშინ ოთხი z1,z2,z3,z4 წერტილი მდებარეობს წრეწირზე ანდა — წრფეზე, და პირუკუ.
  • დაამტკიცეთ, ოთხი z1,z2,z3,z4 წერტილი მაშინ და მხოლოდ მაშინ მდებარეობს წრეწირებზე, როცა z3−z1z3−z2÷z4−z1z2−z1 რიცხვი ნამდვილია.

Share this post


Link to post
Share on other sites

მომეწონა საიტი, მიკვირს აქამდე რატომ არ ვიცოდი. ინფორმატიკის I კურსზე ვარ და ფუნქციის ზღვარს ვსწავლობთ (lim). ლექტორმა ცოტა არ იყოს უცნაურად აგვიხსნა და იქნებ ადამიანურ ენაზე მომეხმაროთ და ზოგადი განმარტება მითხრათ.

Share this post


Link to post
Share on other sites

მომეწონა საიტი, მიკვირს აქამდე რატომ არ ვიცოდი. ინფორმატიკის I კურსზე ვარ და ფუნქციის ზღვარს ვსწავლობთ (lim). ლექტორმა ცოტა არ იყოს უცნაურად აგვიხსნა და იქნებ ადამიანურ ენაზე მომეხმაროთ და ზოგადი განმარტება მითხრათ.

თოფურიას წიგნიში წერია კარგად მგონი... :)

Share this post


Link to post
Share on other sites

აქ რას გვეკითხებიან??? თუ რადიუსს 10არის, ფერდიც 10 არის :)

კიდევ დადევი რა ადმინ ამოცანები :)

--------------------------------------------------------------------------------

პოსტებს მიყოლებით ნუ წერ, შესწორება გამოიყენე ხოლმე

Share this post


Link to post
Share on other sites

1044843_366204683509285_979727441_n.jpg

სალამი :)

ექვსია პასუხი ?

n(n-1)

Share this post


Link to post
Share on other sites

ჩემი ამოხსნა სწორია??? (ტრაპეციაზე რომაა ამოცანა იმაზ გეუბნებით)

Share this post


Link to post
Share on other sites

ტრაპეცის ფერდი 10

შემდეგი რიცხვი 6

ორივემს გამოიინაგარიშეთ სწორედ ყოჩაღ :)

Share this post


Link to post
Share on other sites

რაადიუსის გამოთვლა უფრო კარგი ამოცანა იყო იმ ნახაზზე... ისე ჩემი გამოცდების ბოლო (მეათე) ამოცანას დავწერ მაინტერესებს რას იზამთ და როგორ :) 
ცნობილია რომ a ვექტორის სიგრძეა სამი ფესვი ორი b ვექტორის კი 2, მათ შორის კუთხე 135 გრადუსია, იპოვეთ (2a-b)*b ვექტორების (სკალარული: a*b=axbx+ayby=|a|*|b|*cos(a^b) (მათ შორის კუთხის კოსინუსი)) ნამრავლი...
მერე მეც დავდებ ჩემს ამოხსნას :)
 

Share this post


Link to post
Share on other sites

piramida.gif

AD=10

DC=12

VO=2

რას უდრის? სამკუთხედების ფართობები VDC და CVB-სი? და რამდენი პროცენტით არის აგზრიდლი პირამიდის სამიკუტხედების ფარტობები ABCD-თან სედარებით?

Share this post


Link to post
Share on other sites

თავიდან მინდა ავღნიშნო რომ ნახაზი, ტალანტური სიზუსტითაა შესრულებული, ახლა რაც შეეხება ამოცაას VDC 12sqrt(3), CVB 10sqrt(10), ABCD 24sqrt(6)

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now

×