Jump to content
Sign in to follow this  
GHOST_FATHER

მოქმედებები მთელ რიცხვებზე

Recommended Posts

1.1. მოქმედებები მთელ რიცხვებზე

1.1.1. არითმეტიკის კანონები

ნატურალური (სხვანაირად, მთელი დადებითი) რიცხვების მათემატიკურ თეორიას არითმეტიკას უწოდებენ. ეს თეორია იმ ფაქტს ემყარება, რომ მთელ რიცხვთა შეკრება და გამრავლება გარკვეულ წესებს ემორჩილება. ამ კანონების მთელი ზოგადობით ჩამოყალიბებისათვის არ შეიძლება ვისარგებლოთ 1,2,3 ტიპის სიმბოლოებით, რომლებიც განსაზღვრულ, სპეციფიკურ რიცხვებს ეკუთვნიან. მტკიცება

 

1+2=2+1
კერძო შემთხვევაა იმ ზოგადი კანონისა, რომლის არსიც იმაში მდგომარეობს, რომ ორი რიცხვის ჯამი დამოკიდებული არაა რიგზე, რომლითაც ამ რიცხვებს განვიხილავთ. იმ აზრის გამოსათქმელად, რომ მთელ რიცხვებს შორის ადგილი აქვს (მართლდება, ხორციელდება) გარკვეულ თანაფარდობას, როგორიც არ უნდა იყოს მასში მონაწილე რიცხვები, ისინი უნდა აღვნიშნოთ სიმბოლურად, ე.ი. პირობით, a,b,c,…, ასოებით. ამგვარი შეთანხმების მიღების შემდეგ ძნელი არ არის ჩამოვაყალიბოთ, მკითხველისათვის ალბათ კარგად ცნობილი, არითმეტიკის ხუთი ძირითადი კანონი:

 

 

1) a+b=b+a, 2) ab=ba, 3) a+(b+c)=(a+B)+c, 4) a(bc)=(ab)c, 5) a(b+c)=ab+ac.
 

პირველი ორი კანონი — შეკრების კომუტატიურობის (გადანაცვლებადობის) კანონი და გამრავლების კომუტატიურობის კანონი — ამბობს, რომ შეკრებისას და გამრავლებისას იმ რიცხვების რიგი, რომლებზედაც ეს ოპერაციები წარმოებენ, შეიძლება შეიცვალოს. მესამე — შეკრების ასოციატიურობის (ჯუფთებადობის) კანონი — ამბობს, რომ სამი რიცხვის შეკრებისას ერთი და იგივე შედეგი მიიღება დამოუკიდებლად იმისაგან, პირველ რიცხვს მივუმატებთ მეორისა და მესამის ჯამს, თუ მესამეს — პირველი ორის ჯამს. მეოთხე კანონი არის გამრავლების ასოციატუიურობის კანონი. უკანასკნელი დისტრიბუტიულობის (განრიგებადობის) კანონი ადგენს იმ გამეორებას, რომ ჯამის რაიმე მთელ რიცხვზე გამრავლებისას შეიძლება ამ რიცხვზე გავამრავლოთ თითოეული შესაკრები და მიღებული ნამრავლები შევკრიბოთ.

არითმეტიკის ეს კანონები ძალიან მარტივები არიან და შეიძლება თავისთავად ცხადად მოგეჩვენონ. მაგრამ უნდა შევნიშნოთ, რომ სხვა სახის ობიექტივისათვის — არა მთელი რიცხვებისათვის — ეს კანონები შეიძლება მიუღებელი იყოს. მაგალითად, თუ a და b-თი აღნიშნულია არა მთელი რიცხვები, არამედ ქიმიური ნივთიერებები და თუ “შეკრება” ამ სიტყვის ჩვეულებრივი მნიშვნელობით გაიგება, მაშინ ადვილი გასაგებია, რომ კომუტატურობის კანონი ყოველთვის როდი შესრულდება. მართლაც, სიტყვაზე, თუ წყალს მივუმატებთ გოგირდის მჟავას, მივიღებთ განზავებულ ხსნარს, მაშინ, როცა სუფთა გოგირდმჟავაზე წყლის მიმატება ექსპერიმენტატორისათვის შეიძლება ცუდად დამთავრდეს. ამგვარივე მაგალითებით შეიძლება ჩვენება, რომ ქიმიურ “არითმეტიკაში” ზოგჯერ ირღვევა შეკრების, როგორც ასოციატურობის, ასევე დისტრიბუტიულობის კანონები.

 

 

23746702362209337667.png

 

 

 

ნახ. 1.1. შეკრება

ამრიგად, შეიძლება ისეთი ტიპის არითმეტიკული სისტემების წარმოდგენა, რომლებშიც 1)–5) კანონებიდან ერთი ან რამდენიმე ძალას ჰკარგავს. თანამედროვე მათემატიკაში ასეთი სისტემები,

 

 

71415904231806824590.png

ნახ. 1.2. გამრავლება.

მართლაც, შეისწავლებიან. საფუძველი, რომელსაც 1)–5) კანონები ემყარება, მოიცემა მთელი რიცხვის აბსტრაქციული ცნების კონკრეტული მოდელით. იმის ნაცვლად, რომ გვეხმარა 1,2,3 და ა.შ. ჩვეულებრივი აღნიშვნები, ამჯერად მოცემულ სიმრავლეში (მაგალითად, ვაშლების სიმრავლე ხეზე) საგნების რიცხვს აღვნიშნავთ ოთკუთხა “ყუთებში” მოთავსებულ წერტილთა სისტემით, იმგვარად, რომ ყოველ საგანს თითო წერტილი ეთანადებოდეს. ამ ყუთებზე ოპერაციების ჩატარებით შეგვიძლია მთელი რიცხვების არითმეტიკის კანონების გამოკვლევა.

 

 

06531293967350973894.png

ნახ. 1.3. დისტრიბუტიულობის კანონი.

მთელი a და b რიცხვები რომ შევკრიბოთ, შესაბამისი ყუთები ერთმანეთს მივადგათ და შემდეგ საერთო გვერდი წავშალოთ. a რომ b-ზე გავამრავლოთ, წინასწარ დავალაგოთ წერტილები ამ ყუთებში ცალ რიგად. შემდეგ კი ავაგოთ ახალი ყუთი, რომელშიც წერტილები დალაგებული იქნება a ჰორიზონტალურ და b ვერტიკალურ რიგებად. აქედან ნათლად ჩანს, რომ 1)–5) წესები ყუთებზე შემოღებული ოპერაციების ინტუიციურად ცხად თვისებებს გამოხატავენ.

 

 

41664268570726199609.png

ორ მთელ რიცხვზე შეკრების ოპერაციის განსაზღვრის საფუძველზე ახლა შეიძლება უტოლობაც განისაზღვროს. ორი ექვივალენტური მტკიცებიდან, სახელდობრ, a<b (“a ნაკლებია b-ზე”) და b>a (“b მეტია a-ზე”) თითოეული მათგანი აღნიშნავს, რომ b ყუთი შეიძლება მივიღოთ a ყუთისაგან მასზე მესამე c ყუთის მიდგმით, ისე რომ b=a+c. თუ ეს ასეა, მაშინ ვწერთ

 

 

 

c=b−a,

რითაც გამოკლების ოპერაცია განისაზღვრება.

შეკრებასა და გამოკლებას შებრუნებული ოპერაციები ეწოდებათ, რადგან, თუ a რიცხვს d რიცხვს მივუმატებთ და შედეგად მიღებულ ჯამს გამოვაკლებთ d-ს, ისევ მივიღებთ საწყის a რიცხვს:

 

 

 

 

(a+d)−d=a.

საჭიროა შევნიშნოთ, რომ b−a რიცხვი ჯერჯერობით განსაზღვრულია იმ შემთხვევაში, როცა დაცულია პირობა b>a. b<a პირობებში b−a სიმბოლო, როგორც უარყოფითი მთელი რიცხვის მნიშვნელობა განხილული იქნება შემდეგ. ხშირად მოსახერხებელია b≥a (“b მეტია ან ტოლი a-სი”), ან a≤b (“a ნაკლებია ან ტოლი b-სი”) აღნიშვნის ხმარება, რომლებიც უნდა გვესმოდეს, როგორც a>b უტოლობის უარყოფა. ამრიგად, შეგვიძლია დავწეროთ, როგორც 2≥2, ისევე 3≥2.

მთელი, დადებითი რიცხვების არე, რომლებიც ყუთებში მოთავსებული წერტილებით გამოვსახეთ, შეგვიძლია რამდენადმე გავაფართოოთ. შემოვიღოთ მთელი რიცხვი ნული, გამოსახული სავსებით ცარიელი ყუთის სახით; შევთანხმდეთ, რომ ასეთი ცარიელი ყუთი აღვიშნოთ ჩვეულებრივი 0 სიმბოლოთი. მაშინ, შეკრებისა და გამრავლების ჩვენ მიერ შემოღებულ განსაზღვრათა საფუძველზე, როგორიც არ უნდა იყოს a მთელი რიცხვი, მიიღებიან დამოკიდებულებები:

 

 

 

a+0=a, a⋅0=0. 

მართლაც a+0 აღნიშნავს a ყუთისათვის ცარიელი ყუთის მიდგმას, ხოლო a⋅0 ნიშნავს ყუთს, რომელშიაც ვერტიკალური რიგი სავსებით არაა, ე.ი. ცარიელ ყუთს. ახლა უკვე ბუნებრივია განვაზოგადოთ გამოკლების განსაზღვრაც

 

 

 

a−a=0
ნებისმიერი a-სათვის. ასეთია ნულის დამახასიათებელი არითმეტიკული თვისებები.

შუა საუკუნეების ბოლო წლებამდე არითმეტიკული გამოთვლებისათვის ფართოდ გამოიყენებოდა ყუთებში ჩაწყობილი წერტილების მსგავსი გეომეტრიული მოდელები (მათვე მიეკუთვნება ძველი აბაკი) და მხოლოდ თანდათანობით შეცვალა ისინი გაცილებით სრულყოფილმა, ათობითი სისტემაზე დაფუძნებულმა სიმბოლურმა მეთოდმა.

წყარო

Share this post


Link to post
Share on other sites

სურათები განაახლე იმ ტემებში სადაც აგარ მუშაობს სურათების ლინკი  :Vala_12:

ჩემი პირველი პოსტი

Share this post


Link to post
Share on other sites

image.geottorrents.com გათიშულია ჩაირთვება დ აგამოჩნდება 

Share this post


Link to post
Share on other sites

კარგი იქნება რიცხვთა თეორიდანაც თუ დადებთ ხოლმე ამოცანებს როგორც ვიცი დაშიფვრაში მარტივი რიცხვები გამოიყენება და არ იქნება ცუდი ცოტა რაიმეს თუ გავიგებთ თუნდაც ამ მარტივ "რთულ" რიცხვებზე.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now
Sign in to follow this  

×